\hrule
\vskip .5in
\centerline{\bf 2-D Dedution Result}
\vskip 6pt
\centerline{\sl Authored by Xinjian Chen,hand-written by Dan Shu}
\vskip .5cm
This is the 2-d dedution result of the
fast dct raised by Xinjian Chen.
{\bf\sl All} attributes to Xinjian Chen.
$1^st group$:
$$
T_{8} = P_{8} K_{8} R_{8}
$$
$$
P_{8}=\pmatrix{
1\cr
&&&&1\cr
&&1\cr
&&&&&1\cr
&1\cr
&&&&&&&1\cr
&&&1\cr
&&&&&&-1\cr}
$$
$$
K_{8}=D Un_3\pmatrix{K_{4}\cr
&K_{4}\cr} C
$$
$$
=\pmatrix{&I_{4}\cr
&&P_{(4,3)}M_{4}\cr}
\pmatrix{&I_{4}\cr
&&1&1&0&-1\cr
&&1&-1&1&0\cr
&&1&-1&-1&0\cr
&&1&1&0&1\cr}
\pmatrix{K_{4}\cr
&K_{4}\cr}
\pmatrix{&I_{4}\cr
&&0&0&0&1\cr
&&1&0&1&0\cr
&&0&0&1&1\cr
&&-1&1&0&0\cr}
$$
within which,
$P_{(4,3)}=\pmatrix{1\cr
&1\cr
&&&-1\cr
&&1&\cr}$
,
$M_{4}=\pmatrix{1/2r(1)\cr
&1/2r(3)\cr
&&1/2r(5)\cr
&&&1/2r(7)\cr}$
$$
R_{8}=R_0 R_1 R_2 R_3
=\pmatrix{&1&0\cr
&0&1\cr
&&&0&1\cr
&&&1&0\cr
&&&&&0&0&1&0\cr
&&&&&0&0&0&-1\cr
&&&&&0&1&0&0\cr
&&&&&1&0&0&0\cr} R_1 R_2 R_3
$$
$$
= \pmatrix{1&0\cr
0&1\cr
&&0&1\cr
&&1&0\cr
&&&&0&0&1&0\cr
&&&&0&0&0&-1\cr
&&&&0&1&0&0\cr
&&&&1&0&0&0\cr}
\pmatrix{1&1\cr
1&-1\cr
&&1\cr
&&&1\cr
&&&&1\cr
&&&&&1\cr
&&&&&&1\cr
&&&&&&&1\cr}
\pmatrix{1&0&0&1\cr
0&1&1&0\cr
1&0&0&-1\cr
0&1&-1&0\cr
&&&&1\cr
&&&&&1\cr
&&&&&&1\cr
&&&&&&&1\cr}$$
$
\pmatrix{
1&&&&&&&1\cr
&1&&&&&1&\cr
&&1&&&1&&\cr
&&&1&1&&&\cr
1&&&&&&&-1\cr
&1&&&&&-1&\cr
&&1&&&-1&&\cr
&&&1&-1&&&\cr
}$
\vskip .5cm
\leftline{$2^nd$ group:}
$$
\pmatrix{K_4\cr
&K_4\cr}
\otimes \pmatrix{K_4\cr
&K_4\cr}
=P \pmatrix{K_4 \otimes K_4 \cr
&K_4 \otimes K_4 \cr
&&K_4 \otimes K_4 \cr
&&&K_4 \otimes K_4 \cr}P^t $$
and
$$
P = \pmatrix{
\pmatrix{I_{16}\cr
& P_1 \pmatrix{P_2\cr
&P_2\cr}
}P_3\cr
& \pmatrix{I_{16}\cr
& P_1 \pmatrix{P_2\cr
&P_2\cr}
}P_3\cr
}
$$
within which,
$$
P_1 = \pmatrix{
1\cr
&&1\cr
&&&&1\cr
&&&&&1\cr
&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&&1\cr
&1\cr
&&&1\cr
&&&&&&1\cr
&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&&&&1\cr}
$$
$$
P_2 = \pmatrix{
1\cr
&&&&1\cr
&1\cr
&&&&&1\cr
&&1\cr
&&&1\cr
&&&&&&1\cr
&&&&&&&1\cr}
,
P_3 = \pmatrix{
I_4\cr
&&&&I_4\cr
&I_4\cr
&&&&&I_4\cr
&&I_4\cr
&&&I_4\cr
&&&&&&I_4\cr
&&&&&&&I_4\cr}
$$
$3^rd$ group:
$$
K_4 \otimes K_4 = QA\Lambda SQ_2 (K_4 \otimes I_4) Q{_2}^t \Lambda^t B Q^t
$$
$$
Q = \pmatrix{
\cr
&I_8\cr
\cr
&&&&1\cr
&&&&&&1\cr
&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&1\cr
&&&&&1\cr
&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&1\cr}
$$
$$
A = \pmatrix{
1\cr
&1\cr
&&1\cr
&&&1\cr
&&&&1\cr
&&&&&1\cr
&&&&&&0&1\cr
&&&&&&1&0\cr
&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&0&1\cr
&&&&&&&&&&1&0\cr
&&&&&&&&&&&&0&1&0&1\cr
&&&&&&&&&&&&1&0&1&0\cr
&&&&&&&&&&&&-1&0&1&0\cr
&&&&&&&&&&&&0&1&0&-1\cr
}
$$
$$
\Lambda = \pmatrix{
1\cr
&&&&&1\cr
&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&1\cr
&&&&1\cr
&1\cr
&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&&&&1\cr
&&1\cr
&&&1\cr
&&&&&&1\cr
&&&&&&&1\cr
}
$$
\vskip 1in
$$
S = \pmatrix{
1\cr
&1\over2\cr
&&1\over2\cr
&&&1\over2\cr
&&&&1\cr
&&&&&1\cr
&&&&&&1\over2\cr
&&&&&&&1\over2\cr
&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&-{1\over2}\cr
&&&&&&&&&&&-{1\over2}\cr
&&&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&&&&-{1\over2}\cr
&&&&&&&&&&&&&&&-{1\over2}\cr}
$$
$$
Q_2 = \pmatrix{
\cr
&I_8\cr
\cr
&&&&1\cr
&&&&&&&&1\cr
&&&&&1\cr
&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&&1\cr}
$$
$$
B = \pmatrix{
1\cr
&1\cr
&&1\cr
&&&1\cr
&&&&1\cr
&&&&&1\cr
&&&&&&1&1\cr
&&&&&&1&-1\cr
&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&1\cr
&&&&&&&&&&1&1\cr
&&&&&&&&&&1&-1\cr
&&&&&&&&&&&&0&1&-1&0\cr
&&&&&&&&&&&&1&0&0&1\cr
&&&&&&&&&&&&-1&-1&-1&1\cr
&&&&&&&&&&&&-1&1&1&1\cr
}
$$
\vskip 1in
\vfill
\hrule
\eject
